J’ai effectué ma thèse de mathématiques de 2005 à 2008 sous la direction de Jean-Loup Abbé et de Bertrand Jouve à l’université de Toulouse II. L’intitulé de ma thèse est « Comparaison de graphes, application aux réseaux de sociabilités paysans du moyen âge ».
L’objectif de cette thèse est de comparer des graphes à l’aide d’outils algébriques (en particulier les éléments propres de matrices associées au graphe).
Un premier aspect de cette comparaison de graphes est l’étude d’un réseau social entre paysans au Moyen Age. Les éléments propres du Laplacien nous permettent de mettre en évidence certaines communautés ; en couplant ce résultat à une étude métrologique et des méthodes statistiques on peut obtenir une représentation simplifiée du réseau. La comparaison de deux réseaux peut alors passer par la comparaison des deux représentations obtenues.
Comparer deux graphes en connaissant uniquement leurs spectres (pour une matrice donnée, adjacence ou Laplacien par exemple) soulève la question de savoir si deux graphes possédant le même spectre sont isomorphes. En d’autres termes : « Quels sont les graphes déterminés par leur spectre ? ». A l’heure actuelle, on ne connaît que peu de graphes répondant à cette question et trouver de nouvelles familles de graphes déterminés par leur spectre permet d’apporter de nouveaux éléments de réponse.
Dans cette thèse nous exposons une méthode de dénombrement de marches fermées sur un graphe permettant de montrer la non-cospectralité (pour la matrice d’adjacence) de deux graphes donnés. Ensuite de nouvelles classes de graphes déterminés par leur spectre sont montrées.
Romain BOULET 